首先感谢 musictheory.net，这个网站十分好用。
都很实用，不过最值得提的是 Key Signature Calculation 这门课，引发我思考如何将五度圈和调号结合起来。
此外我最近在阅读 SoundQuest 的 自由派音乐理论（中文版），也很有启发性。
限于篇幅，本文不可能从最基础的知识讲起，假设读者已经了解了基础概念。不过我们还是来回顾一下这些名词。
- 五度圈 (Circle of Fifths) 是由 12 个音符组成的一个圆圈，顺时针方向每个音都与前一个音构成纯五度音程。
- 调式 (Mode) 是指音阶的排列方式。七种中古调式分别是：Ionian (I, 大调)、Dorian (II)、Phrygian (III)、Lydian (IV)、Mixolydian (V)、Aeolian (VI, 自然小调)、Locrian (VII)。它们的音阶分别是：
| 调式 | 音阶 | 音级 | 半音数 |
|---|---|---|---|
| Ionian (I) | C D E F G A B C | 1 2 3 4 5 6 7 8 | 2 2 1 2 2 2 1 |
| Dorian (II) | D E F G A B C D | 1 2 ♭3 4 5 6 ♭7 8 | 2 1 2 2 2 1 2 |
| Phrygian (III) | E F G A B C D E | 1 ♭2 ♭3 4 5 ♭6 ♭7 8 | 1 2 2 2 1 2 2 |
| Lydian (IV) | F G A B C D E F | 1 2 3 ♯4 5 6 7 8 | 2 2 2 1 2 2 1 |
| Mixolydian (V) | G A B C D E F G | 1 2 3 4 5 6 ♭7 8 | 2 2 1 2 2 1 2 |
| Aeolian (VI) | A B C D E F G A | 1 2 ♭3 4 5 ♭6 ♭7 8 | 2 2 1 2 2 1 2 |
| Locrian (VII) | B C D E F G A B | 1 ♭2 ♭3 4 ♭5 ♭6 ♭7 8 | 2 1 2 2 1 2 2 |
此外，小调还有两种常用的变体，它们只改变小调的上行音阶，导致上行和下行音阶不同：
- 和声小调 (Harmonic Minor, Aeolian♮7)：上行 1 2 ♭3 4 5 ♭6 7 8，下行 8 ♭7 ♭6 5 4 ♭3 2 1
- 旋律小调 (Melodic Minor, Aeolian♮6♮7)：上行 1 2 ♭3 4 5 6 7 8，下行 8 ♭7 ♭6 5 4 ♭3 2 1
- 主音 (Tonic) 是指调式的第一个音符。
- 调性 (Key) 由调式和主音决定。
- 调号 (Key Signature) 是指在乐谱上用来表示调性的符号，由升号（♯）和降号（♭）组成。
调式
首先研究 C 调在 I ~ VII 调式中的升调数和发生升降调的音符。记♯为正数，♭为负数。汇总如下：
| 调式 | 升调数 | 升降调的音符 |
|---|---|---|
| I | 0 | - |
| II | -2 | B♭ E♭ |
| III | -4 | B♭ E♭ A♭ D♭ |
| IV | +1 | F♯ |
| V | -1 | B♭ |
| VI | -3 | B♭ E♭ A♭ |
| VII | -5 | B♭ E♭ A♭ D♭ G♭ |
可以发现，设有两个有降调的调式 X 和 Y，且降调数满足 X < Y，则 X 发生降调的音符一定是 Y 发生降调的音符的子集。
其背后的数学原理可以留作读者思考，总之我们可以推出一个重要结论：
如果两个调式的升调数相等，它们发生升降调的音符也相同。
主音
调性的升调数=调式的升调数+主音的升调数。
思考七种调式的来源：当主音分别取 C~B，调式分别取 I~VII 且与主音对应时，升调数总是 0。也就是说：
I + C = II + D = III + E = IV + F = V + G = VI + A = VII + B = 0
其中，II 表示 C Dorian 调式中的升调数，D 表示 D 大调中的升调数，这两种变量分别将调式和主音的升调数分开，互相独立。
因此我们可以得到 C~B 各主音大调的升调数：
| 主音 | 升调数 | 升降调的音符 |
|---|---|---|
| C | 0 | - |
| D | +2 | F♯ C♯ |
| E | +4 | F♯ C♯ G♯ D♯ |
| F | -1 | B♭ |
| G | +1 | F♯ |
| A | +3 | F♯ C♯ G♯ |
| B | +5 | F♯ C♯ G♯ D♯ A♯ |
由于主音和调式的影响完全相反、互相抵消，我们顺便能够得出各主音大调发生升降调的音符。
可以这么理解：相对于 C 大调，
- D 大调导致 F♯ (音级3)、C♯ (音级7) 升调
- Dorian 调式导致 E♭ (音级3)、B♭ (音级7) 降调
- 由于转音，需要把上面提到的音名都转化为音级来看待
- 因此 D Dorian 调式中升调和降调正好抵消，导致升调数为 0，所用的七个音符正好就是 D E F G A B C。
此外，可以总结出音符发生升降调的顺序：
| 升/降 | 顺序 |
|---|---|
| ♯ | F C G D A E B |
| ♭ | B E A D G C F |
升调顺序和降调顺序完全相反。此外你可能已经发现了，升调顺序恰好和五度圈的顺时针顺序相同。
五度圈
F C G D A E B 正好是纯五度顺序。
因为发生升降调的音符顺序和调式里半音所在的位置有关。考虑 G 大调的音阶：
G A B C D E F♯ G
首先写下大调的半音数：2 2 1 2 2 2 1。然后是 G 对应的 V 调式的半音数：2 2 1 2 2 1 2。G 大调的 VI 音阶比 G Mixolydian 高了一个半音，因此 G 大调中出现 F♯。
下一步考虑 D 大调：
D E F♯ G A B C♯ D
D Dorian 的半音数：2 1 2 2 2 1 2。D 大调的 VII 音阶比 D Mixolydian 高了一个半音，因此 D 大调中出现 C♯。
此时，发生升调的 III 音阶和 VII 音阶之间相差了纯五度（五度 7 半音），可以总结出当这个 2 2 1 2 2 1 2 的音阶继续向前推进时，每个发生升调的音符都和前一个构成纯五度音程。
(2 2 1 2 2 2 1) - X = Y
| 主音 | X | Y | 升调音符 |
|---|---|---|---|
| C | 2 2 1 2 2 2 1 | 0 0 0 0 0 0 0 | - |
| G | 2 2 1 2 2 1 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | F♯ |
| D | 2 1 2 2 2 1 2 | 0 1 0 0 0 1 0 | F♯ C♯ |
| A | 2 1 2 2 1 2 2 | 0 1 0 0 1 1 0 | F♯ C♯ G♯ |
| E | 2 1 2 1 2 2 2 | 0 1 0 1 1 1 0 | F♯ C♯ G♯ D♯ |
| B | 2 1 1 2 2 2 2 | 0 1 1 1 1 1 0 | F♯ C♯ G♯ D♯ A♯ |
主音升降调
最后研究主音的升降调对调号的影响。
C♯ 大调的音阶是 C♯ D♯ E♯ F♯ G♯ A♯ B♯ C♯，它的升调数是 +7。这很好理解：因为 C 大调的升调数是 0，C♯ 大调需要让所有音符都添上♯，升调数增加 7。
因此可以得出结论：主音♯使升调数 +7，主音♭使升调数 -7。
调号计算总结
| 主音 | C | D | E | F | G | A | B |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 升调数 | 0 | +2 | +4 | -1 | +1 | +3 | +5 |
| 调式 | I | II | III | IV | V | VI | VII |
| 升调数 | 0 | -2 | -4 | +1 | -1 | -3 | -5 |
| 升降调 | ♯ | ♭ | |||||
| 升调数 | +7 | -7 |
根据上表将主音和调式的升调数相加，得到调性的升调数，其中正数为♯，负数为♭。然后可根据下表计算发生升降调的音符：
| 升/降 | 顺序 |
|---|---|
| ♯ | F C G D A E B |
| ♭ | B E A D G C F |
五度圈记忆
除了直接记忆 F C G D A E B 这个纯五度顺序（毫无疑问这是很有帮助的），还可以将调号与五度圈联系起来深化记忆。
考虑 F C G D A E B 的升调数。由于升调音符是按纯五度顺序排列的，因此其对应的升调数也是逐渐增加的：
F C G D A E B = -1 0 1 2 3 4 5
因此从 F (330°) 开始，顺时针方向每个音符的升调数都比前一个音符多 1。
| 度数 | 大调 | 小调 |
|---|---|---|
| 330° | F | d |
| 0° | C | a |
| 30° | G | e |
| 60° | D | b |
| 90° | A | f♯ |
| 120° | E | c♯ |
| 150° | B/C♭ | g♯ |
| 180° | G♭/F♯ | e♭/d♯ |
| 210° | D♭/C♯ | b♭ |
| 240° | A♭ | f |
| 270° | E♭ | c |
| 300° | B♭ | g |
Courtesy of Wikipedia
- 从 330° (-1) 到 150° (+5) 分别是 F C G D A E B。
- 从 180° (-6) 到 300° (-2)，可以通过 +1 到 +5 的大调减去 7 (降调) 来得到。因此对应 G (+1) 到 B (+5) 的降调，分别是 G♭ D♭ A♭ E♭ B♭。
- 此外，150° (+5 = -7) 还可以是 C♭，210° (-5 = +7) 还可以是 C♯。
然后是小调。我们知道自然小调的升调数是 -3，在五音圈上就是大调逆时针 90° 可以找到对应的小调。
- 从 240° (-4) 到 60° (+2) 分别是 f c g d a e b。
- 从 90° (+3) 到 210° (+7)，可以通过 -4 到 0 的小调加上 7 (升调) 来得到。因此对应 f (-4) 到 a (0) 的升调，分别是 f♯ c♯ g♯ d♯ a♯。
此外，还可以处理一些异名同音的调号：
| 升调数 | 大调 | 降调数 | 大调 | 升调数 | 小调 | 降调数 | 小调 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| +4 | E | -8 | F♭ | +4 | c♯ | -8 | d♭ |
| +5 | B | -7 | C♭ | +5 | g♯ | -7 | a♭ |
| +6 | F♯ | -6 | G♭ | +6 | d♯ | -6 | e♭ |
| +7 | C♯ | -5 | D♭ | +7 | a♯ | -5 | b♭ |
| +8 | G♯ | -4 | A♭ | +8 | e♯ | -4 | f |
操作也很简单：
写下 F C G D A E B F C G D A E B，然后找到对应的调号。如果升降转换为降调，向前移动五个字母，反之向后移动五个字母。比如：
寻找 a♯ (+8) 对应的降调小调，找到第二个 A (第 12)，向前移动 5 个字母，得到 f (第 7)，因此 a♯ 的异名同音是 f 小调。
调号计算示例
这个部分其实重要性远远不及五度圈，但还是顺便提一下。
例 1：E♭ 大调。
升调数 = E (4) + ♭(-7) + 大调 (0) = -3
因此 E♭ 大调的升调数是 -3，发生降调的音符是 B♭ E♭ A♭。
例 2：B♯ Lydian 调式。
升调数 = B (5) + ♯(7) + Lydian (1) = 13
因此 B♯ Lydian 调式的升调数是 +13，所有音符都升调，此外前 6 个音符发生重升调，分别是 F𝄪 C𝄪 G𝄪 D𝄪 A𝄪 E𝄪 B♯。
音阶为 B♯ C𝄪 D𝄪 E𝄪 F𝄪 G𝄪 A𝄪 B♯。
在五度圈上调整至 -6 ~ +6 的范围内即可找到其异名同音调号。
+13 可以调整为 +1，因此与 G 大调或 e 小调同音。
要找到其在 Lydian 调式中的异名同音，可以列式：X + Lydian (1) = +1，解得 X = 0。所以其与 C Lydian 调式同音。
例 3：G 旋律小调。
升调数 = G (1) + 小调 (-3) = -2
因此 G 自然小调的升调数是 -2，发生降调的音符是 B♭ E♭ A♭。
要调整为旋律小调，在上行时将第 6、7 音级升调，也即将 E♭ 和 F 升调为 E♮ 和 F♯。
因此 G 旋律小调的音阶为 G A B♭ C D E♮ F♯ G F E♭ D C B♭ A G。